Лекция 3. Законы логики Аристотеля

Пустовит А. В.

Муза, ранясь шилом опыта, ты помолишься на разум.

Д. Авалиани

Итак, логика представляет собой науку о правильном рассуждении. Формальная логика утверждает, что правильность рассуждения зависит только от его формы. Вопрос о возможности разделения содержания и формы, – это, вообще говоря, вопрос сложный. Иногда их можно разделить, а иногда нельзя (например, в арифметике – можно, а в поэзии – нельзя).

После всего того, что было сказано в предыдущей лекции, должно быть понятно, что, во всяком случае, в математике можно отделить форму от содержания; поэтому хорошие примеры правильных рассуждений следует искать в математике. Так и поступим: обратимся к той области математики, которая должна быть знакома всем выпускникам средней школы, – а именно к геометрии Евклида.

Этой науке присуще логическое совершенство. Geometria est archetypus pulchritudinis mundi (геометрия есть прообраз красоты мира), – утверждает Кеплер [цит. по: Гейзенберг В. Смысл и значение красоты в точных науках. – Вопросы философии, 1979, № 12]. О красоте евклидовой геометрии пишет великий физик ХХ в. А. Эйнштейн:

«Мы почитаем древнюю Грецию как колыбель западной науки. Там была впервые создана геометрия Евклида – это чудо мысли, логическая система, выводы которой с такой точностью вытекают один из другого, что ни один из них не был подвергнут какому-либо сомнению. Это удивительнейшее произведение мысли дало человеческому разуму ту уверенность в себе, которая была необходима для его последующей деятельности. Не рожден для теоретических исследований тот, кто в молодости не восхищался этим творением» [Эйнштейн А. Физика и реальность. – М., 1965, с. 326].

Известно, что евклидова геометрия основана на пяти аксиомах и пяти постулатах, – истинах, которые принимают без доказательства, на веру. Например, одна из аксиом утверждает: целое больше своей части. Принципиальной разницы между аксиомами и постулатами нет, но с постулатами Евклид обычно связывает утверждение возможности выполнить то или иное построение.

Примером может служить самый знаменитый из постулатов, – пятый, – постулат о параллельных: прямая и точка, не лежащая на этой прямой, определяют плоскость; в этой плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной и притом только одну [Киселев А. П. Геометрия. Часть вторая. Стереометрия. Учебник для IX – X кл. – М., 1971, с. 93]. Параллельными, как известно, называются две прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие ни одной общей точки.

Все истины, которые встречаются в геометрии, Евклид разделил на три вида: уже знакомые нам постулаты и аксиомы, и теоремы. Аксиомы и постулаты, принимаемые на веру, являются фундаментом, основанием геометрии. В трактате «Метафизика» Аристотель поставил вопрос о начале всякого знания, понимая при этом, что любое доказательство опирается на аксиомы (постулаты), – истины, принимаемые на веру (именно так построена евклидова геометрия). Аристотель указывает на то, что не всякая наука есть доказывающая наука, потому что знание начал недоказуемо. Итак, есть не только наука, но и некоторое начало науки (в геометрии – аксиомы и постулаты).

Истины третьего вида – теоремы – должны доказываться, то есть путем правильных рассуждений выводиться из двух первых видов истин.Любой науке присуща доказательность. Аристотель и определяет науку как вид бытия, способный доказывать [Асмус В. Метафизика Аристотеля. – Аристотель. Сочинения в четырех томах. Том 1. – М., 1976, с. 37]. Евклидова геометрия – образец доказательности и логической стройности.

Приведем пример геометрического доказательства.

Теорема: две прямые, порознь параллельные третьей, параллельны между собой.

Дано: три прямые a, b, c;

a параллельна c, b параллельна c.

Доказать: a параллельна b.

Что значит «прямые параллельны»? Это значит, что они не имеют ни одной общей точки, не пересекаются друг с другом. Определение: две прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие ни одной общей точки, называются параллельными.

Доказательство будет проведено методом приведения к абсурду (лат. reductio ad absurdum) (так называемое доказательство от противного; в этом случае в качестве первого шага предполагают противоположное тому, что хотят доказать – отсюда и название)

Доказательство.

1) предположим, что a не параллельна b

2) следовательно, эти прямые пересекаются в точке D (см. рис.)

3) следовательно, через точку D проходят две прямые, параллельные прямой c

4) однако постулат о параллельных утверждает, что через точку вне прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной!

5) следовательно, мы пришли к противоречию с постулатом о параллельных

6) следовательно, наше исходное предположение 1) ложно

7) следовательно, истинно противоположное утверждение, а именно:

a параллельна b, что и требовалось доказать.

Практическое задание

Самостоятельно найти пример доказательства от противного (легче

всего это сделать, обратившись к школьному курсу геометрии).

Доказательство опирается, во-первых, на постулат о параллельных, и, во-вторых, на закон противоречия, – один из центральных законов классической логики, сформулированный ее создателем, великим древнегреческим философом Аристотелем, в трактате «Метафизика»:

«…самое достоверное из всех начал – то, относительно которого невозможно ошибиться, ибо такое начало должно быть наиболее очевидным (ведь все обманываются в том, что не очевидно) и свободным от всякой предположительности.

…что это за начало, укажем теперь. А именно: невозможно, чтобы одно и то же в одно и то же время было и не было присуще одному и тому же в одном и том же отношении…Конечно, не может кто бы то ни было считать одно и то же существующим и не существующим…

Если невозможно, чтобы противоположности были в одно и то же время присущи одному и тому же…, и если там, где одно мнение противоположно другому, имеется противоречие, то очевидно, что один и тот же человек не может в одно и то же время считать одно и то же существующим и не существующим… Поэтому все, кто приводит доказательство, сводят его к этому положению как к последнему: ведь по природе оно начало даже для всех других аксиом» [Аристотель. Метафизика, IV, 3,1005b. – Аристотель. Сочинения: В 4 т. – М., 1977 – 1983, т.1, с. 125; курсив мой – А. П.]

Иногда этот закон именуют также законом непротиворечивости: не могут быть одновременно истинными суждение А и его отрицание – не А [Ерышев А. А., Лукашевич Н. П., Сластенко Е. Ф. Логика. – К., 2003, с. 68 – 70]. Из двух противоречащих друг другу высказываний одно должно быть ложным [Ивин А. А. Логика. – М., 2004. с. 160 – 161].

Логика Аристотеля двузначна; она основывается на предположении, что любое суждение А или истинно, или ложно. Если А истинно, то не-А ложно; если не-А истинно, то А ложно.

Обратите внимание: Аристотелева, формальная, классическая, двузначная логика – это одна и та же наука.

Приведем примеры.

Пусть А – некоторое суждение; тогда не-А –суждение, противоречащее А, противоположное ему.

Закон противоречия можно представить в виде формулы: ложно, что А и не-А. Ложно, что две прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются и не пересекаются, ложно, что драконы существуют и не существуют и т.д.

Забавной иллюстрацией может служить первая строфа стихотворения Л. Кэрролла (образец поэзии нонсенса – см. далее), в которой этот закон нарушен:

Сияло солнце в небесах,

Светило во всю мочь,

Была светла морская гладь,

Как зеркало точь-в-точь,

Что очень странно – ведь тогда

Была глухая ночь. [Алиса, с.200]

Еще один красноречивый пример :

Дело было в январе

Первого апреля

Сухо было на дворе

Грязи по колено

Шел высокий человек

Маленького роста

Кучерявый без волос

Тоненький как бочка.

С законом противоречия тесно связан другой основополагающий принцип классической логики – закон исключенного третьего: из двух противоположных утверждений одно верно, а другое ложно; третьего не дано(по латыни tertium non datur). Если две прямые, принадлежащие одной плоскости, пересекаются, то утверждение об их параллельности – ложно. Если они параллельны, то ложным будет утверждение об их пересечении.

Закон исключенного третьего можно представить в виде формулы: истинно, что А или не-А.

Истинно, что две прямые, принадлежащие одной плоскости, параллельны или не параллельны (пересекаются); истинно, что драконы существуют или не существуют и т.д.

Прекрасную иллюстрацию этого закона находим в сказке А. Толстого «Золотой ключик»: Буратино выловили из пруда. Лекарь Богомол, осмотрев больного, заключает: пациент или жив или мертв; если он жив, то будет жить или умрет; а если мертв, то его нельзя оживить или можно оживить. Таким образом, применяя закон исключенного третьего, можно составить речь – совершенно безошибочную и при этом абсолютно бессодержательную.

Практическое задание

Самостоятельно выбрав тему, составьте речь по образцу речи Богомола.

Наконец, третий закон логики Аристотеля называется законом тождества.

Закон тождества можно представить в виде формулы: истинно, что А есть А (А=А).

Если высказывание истинно, то оно истинно.

Этот закон сводится к требованию однозначности и определенности мысли и запрещает подменять один предмет мысли другим. Нельзя отождествлять различные мысли, нельзя тождественные мысли принимать за различные. Предмет суждения должен оставаться тождественным самому себе в этом суждении.

В частности, в строгом (научном, содержательном) рассуждении слова должны быть однозначными. Если бы, пишет Аристотель, слово имело бесчисленное множество значений, то

«совершенно очевидно, что речь была бы невозможна; в самом деле, не означать что-то одно – значит ничего не означать; если же слова ничего [определенного] не обозначают, то конец всякому рассуждению за и против…, ибо невозможно что-либо мыслить, если не мыслят что-то одно; а если мыслить что-то одно возможно, то для него можно будет подобрать одно имя. Итак, слово… что-то обозначает, и притом что-то одно» (Метафизика, IV, 4, 1006b) [Аристотель. Сочинения в четырех томах. – Том 1, М., 1976, с.127]

Ярким примером нарушения закона тождества является использование каламбуров, – слов, сходных по звучанию, но разных по значению, или использование разных значений одного и того же слова:

Не стой где попало – попадет еще!

Одни спешат делать добро, другие – наживать.

Держит слово и никому его не дает.

Едят, как правило, тех, кто не по вкусу.

(См. также далее стихотворения И. Иртеньева).

Теперь мы можем вернуться к вопросу о том, что отличает правильное рассуждение от неправильного. Для этого введем новое понятие – дедукция. Что такое дедукция? Это движение мысли от общего к частному, выведение частного из общего. Только дедукция гарантирует истинность выводов при истинности посылок и с необходимостью обеспечивает полноту формальной доказательности. Пример использования дедукции – построение евклидовой геометрии: теоремы доказывают, опираясь на аксиомы и пользуясь законами логики. Геометрия Евклида представляет собой воплощение Аристотелевой логики, – эти два великих достижения античной культуры неразрывно связаны между собой.

Вспомним теперь об основополагающем постулате формальной логики, в соответствии с которым правильность рассуждения зависит только от его формы. Все три закона логики представляют собой не что иное, как схему правильного рассуждения, лишенную конкретного содержания, -чистую форму, – формулу, дающую истинное высказывание при любой подстановке в нее конкретных (истинных или ложных) высказываний. Такая всегда истинная формула называется тавтологией. Понятие закона логики совпадает с понятием тавтологии [Ивин. Логика – 2004, с. 159]. Любой закон логики представляет собой не что иное, как схему правильного рассуждения, – предельно общую логическую форму, лишенную конкретного содержания.