Лекция 5. Проблема движения
Пустовит А. В.
Мед – это очень уж странный предмет!
Всякая вещь или есть или нет:
А мед, – я никак не пойму в чем секрет!
Мед если есть, то его сразу нет!
Винни-Пух
Итак, проблема состоит в том, что движение противоречиво, а классическая логика запрещает противоречие. Вместо того, чтобы рассматривать движение, Зенон (избегая противоречия!) мысленно как бы все время останавливает бегуна. Он мыслит процесс движения как совокупность неподвижных положений, – такой способ рассмотрения проблемы и приводит к абсурдному результату.
Гегель пишет о том, что в случае движущегося тела на вопрос, – находится ли тело в точке А или нет?, – возможен только противоречивый ответ: да, находится, и, вместе с тем, – нет, не находится: «Нечто движется не поскольку оно в этом «теперь» находится здесь, а в другом «теперь» там, а лишь поскольку оно в одном и том же «теперь» находится здесь и не здесь, поскольку оно в этом «здесь» одновременно и находится, и не находится. Надлежит согласиться с древними диалектиками, что противоречия, которые они нашли в движении, действительно существуют; но из этого не следует, что движения нет, а наоборот, что движение есть само существующее противоречие» [Антология мировой философии. В 4 т. – Т.3. – М., 1971, с. 321 – 322].
Действительно, если, рассматривая покоящееся тело, на вопрос – находится ли это тело в точке А, или нет, – можно дать однозначный ответ: да, находится, или – нет, не находится (и в этом случае закон исключенного третьего справедлив: из двух противоположных утверждений одно верно, другое ложно), то в случае движущегося тела такой ответ дать нельзя.
Гегель в «Лекциях по истории философии» пишет: «…Двигаться означает быть в данном месте и в то же время не быть в нем, – следовательно, находиться в обоих местах одновременно; в этом состоит непрерывность времени и пространства, которая единственно только и делает возможным движение. Зенон же в своем умозаключении строго отделял друг от друга эти две точки» [цит. по: Гулыга А. В. Немецкая классическая философия. – М., 1986, с. 267].
«…способ, которым движущееся вступает в отношение с каждой проходимой им точкой пространства, коренным образом отличен от способа, которым устанавливается отношение между покоящимся телом и точкой, которую оно занимает. Мы даже пойдем еще дальше, а именно вместе с Аристотелем скажем, что движение и неподвижность соотносятся как бытие и становление (курсив мой – А. П.). Неподвижное, покоящееся тело действительно есть в точке или месте, определенном его положением покоя; и наоборот, движущееся тело не есть в точках своей траектории…» [Койре А. Заметки о парадоксах Зенона. – Койре А. Очерки истории философской мысли. – М., 1985, с. 36 – 37].
Зенон и Гегель судят о противоречии различно: для первого противоречие означает гибель мышления и он приходит к выводу о том, что не существует движение (раз уж мышление существует). Для второго противоречие – корень всякого движения и жизненности.
Трудность постижения изменчивого (движущегося, трансформирующегося, находящегося в процессе метаморфозы) хорошо иллюстрирует один из эпизодов сказки Кэрролла, – разговор Алисы с Синей Гусеницей («Алиса в Стране Чудес», гл.5):
«Алиса и Синяя Гусеница долго смотрели друг на друга, не говоря ни слова. Наконец, Гусеница вынула кальян изо рта и медленно, словно в полусне, заговорила:
– Ты… кто… такая? – спросила Синяя Гусеница.
Начало не очень-то располагало к беседе.
– Сейчас, право, не знаю, сударыня, – отвечала Алиса робко. – Я знаю, кем я была сегодня утром, когда проснулась, но с тех пор я уже несколько раз менялась.
– Что это ты выдумываешь? – строго спросила Гусеница. – Да ты в своем уме?
– Нe знаю,–отвечала Алиса.–Должно быть, в чужом. Видите ли…
– Не вижу, – сказала Гусеница.
– Боюсь, что не сумею вам все это объяснить, – учтиво промолвила Алиса. – Я и сама ничего не понимаю. Столько превращений в один день хоть кого собьет с толку.
– Не собьет, – сказала Гусеница.
– Вы с этим, верно еще не сталкивались, – пояснила Алиса.
– Но когда вам придется превращаться в куколку, а потом в бабочку, вам это тоже покажется странным.
– Нисколько! – сказала Гусеница.
– Что ж, возможно,–проговорила Алиса.–Я только знаю, что мне бы это было странно.
– Тебе! – повторила Гусеница с презрением. – А кто ты такая?
Это вернуло их к началу беседы».
Почему Алиса не может ответить на вопрос Гусеницы? – Потому что она меняется. Отчетливый и однозначный ответ на вопрос «Кто ты такой?» возможен только в том случае, если человек не изменяется, – или, по крайней мере, считает себя постоянным, мыслит себя как нечто неизменное.
Обычно, отвечая на этот вопрос, люди предъявляют паспорт. Там указаны фамилия, имя, отчество, домашний адрес, имя супруга, имеется фотография. Все это, однако, – и внешность, и имя, и адрес, – может измениться. Стоит только представить себе, что изменения происходят достаточно часто и что измениться могут сразу несколько параметров, – и мы поймем затруднения Алисы.
С точки зрения классической логики, трудность состоит в том, что нарушается закон тождества. Алиса все еще Алиса, но она уже изменилась, она та же и не та же, – это и есть противоречие, строго запрещаемое классической логикой.
Впрочем, так ли непостижимо изменчивое, движущееся?
Две тысячи лет мысль Платона о том, что где всегда происходит изменяемость, там не может быть знания, считалась бесспорной. Положение изменилось только в семнадцатом веке, когда была создана первая наука о движении – классическая механика. Для того, чтобы описать движение, понадобилось создать совершенно новую математику, в корне отличную от арифметики и евклидовой геометрии, – исчисление бесконечно малых (дифференциальное и интегральное исчисления).
Основанием этого нового математического аппарата физики, – математического анализа, – стало понятие предела (лат. limes). Основные инструменты математического анализа – производная и определенный интеграл, – представляют собой пределы частичных сумм некоторых рядов. Примером может служить тот ряд, к которому мы уже обращались при изучении апории Зенона:
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ………
Зенон полагал, что эта бесконечная сумма равна бесконечности (еще бы – ведь число слагаемых бесконечно!), и поэтому бегун никогда не достигнет финиша. Кажется очевидным, что эту сумму вычислить нельзя: кто же в состоянии сложить друг с другом бесконечное число слагаемых? Ведь этот процесс никогда не будет завершен!
Однако новая математика утверждает: сумма равна единице. Как это можно доказать?
– Пусть 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ………= х
Тогда 2х= 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ………= 1+х
Следовательно 2х = 1 + х; следовательно, х = 1. Читатель, подумайте над этим поразительным результатом! Нам только что удалось совершить, казалось бы, невозможное – найти сумму бесконечного числа слагаемых!
Что имеет в виду математик, когда говорит, что сумма ряда 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ………равна 1? Ясно, что в данном случае в понятие «сумма» он вкладывает иной смысл, чем в понятие «сумма конечного ряда». Просуммировать бесконечный ряд в обычном смысле слова невозможно, потому что число слагаемых – членов ряда – бесконечно. Когда математик говорит о сумме бесконечного ряда, он имеет в виду число, к которому стремятся частичные суммы ряда [«Частичные суммы» – это вот что: первый член ряда – 1/2, – это первая сумма; 1/2 + 1/4 – вторая ; 1/2 + 1/4 + 1/8 – третья и т.д. Чем больше слагаемых в сумме, тем меньше эта сумма отличается от единицы. Последовательность частичных сумм сходится к пределу, и этот предел равен единице. – А. П.] при неограниченном возрастании числа входящих в них членов ряда. Слово «стремится» математик также понимает в специальном смысле: оно означает, что разность между суммой ряда и его частичными суммами можно сделать сколь угодно малой (бесконечно малой)… Существенно, что всякий раз, когда ряд сходится, можно найти частичную сумму, отличающуюся от суммы ряда на величину, которая меньше любого наперед заданного числа [Гарднер М. Математические новеллы. – М., 1974, с. 8 – 9].
Для нас в данном случае важны два обстоятельства: во-первых, может случиться, что сумма бесконечного числа слагаемых является конечной величиной; во-вторых, мы видим, что новоевропейская математика, в отличие от античной, обращается к категории бесконечности, она рассматривает бесконечные ряды и бесконечно малые. В этом ее принципиальное отличие от античной математики. И античной культуре в целом, и античной математике присущ страх бесконечности (horror infiniti). В ней отсутствует как бесконечно большое, так и бесконечно малое.
Напротив того, в новоевропейской математике присутствуют и нуль, и бесконечность (величины, обратные бесконечно малым, бесконечно велики). Один из величайших математиков ХХ в. Г. Вейль сказал о новоевропейской математике:
«…математика была названа наукой о бесконечном; действительно, математика изобретает конечные конструкции, посредством которых решаются вопросы, по самой своей сути относящиеся к бесконечному. В этом ее слава».
Обратившись к категории бесконечности, новоевропейская математика смогла описать движение. Однако бесконечно малые – величины совершенно особого рода. В первые два века существования математического анализа, – то есть в XVII – XVIII вв. – было много трудностей, связанных с пониманием бесконечно малых. В одних случаях их приравнивали к нулю и при вычислениях отбрасывали, в других – принимали за ненулевые величины. Причина столь противоречивого подхода (равны нулю – не равны нулю) к бесконечно малым была в том, что их мыслили как постоянные величины.
Выход из кризиса был достигнут благодаря созданию теории пределов, окончательно построенной в начале XIX века французским математиком О. Коши. Он разрешает парадокс бесконечно малых, равных и одновременно неравных нулю, тем, что полагает их не постоянными, а изменяющимися; они существуют лишь как стремящиеся к пределу, но никогда его не достигающие!
То есть они всегда остаются подвижными, изменчивыми величинами: приближаются, стремятся к нулю, никогда его не достигая» [Сухотин А. Парадоксы науки. – М., 1980]. Математический анализ оказывается способным описать движение только благодаря тому, что в его фундаменте заложена такая динамическая, изменчивая сущность, как бесконечно малая. В этом его принципиальное отличие от античной математики, которая была математикой постоянных, неподвижных величин (натуральные числа, точки, прямые, плоскости).
Математический анализ был создан, в частности, для нужд классической механики, – науки, описывающей простейший вид движения – перемещение тела в пространстве. В первой трети XIX века великий философ Гегель создает общую теорию движения (развития):
«Гегелевская диалектика – это систематически развитое учение, в котором дана содержательная картина всеобщих форм движения….Создание Гегелем логики становления явилось наивысшим достижением западной философии» [Лосев А. Ф. Дерзание духа. – М., 1988].
«Собственно диалектика, – утверждал Гегель, – не что иное, как упорядоченный, методически разработанный дух противоречия…» [Эккерман И. П. Разговоры с Гете в последние годы его жизни. – Ереван, 1988, с.547].
Гегель очень критически отнесся к логике Аристотеля, наследовавшего Пармениду, в частности, к закону исключенного третьего. Это вполне понятно; разработанная им диалектическая логика основана на иных, противоположных, принципах. Если аристотелевская логика запрещает противоречие, то в диалектике Гегеля категория противоречия занимает центральное место, воплощаясь, например, в законе единства и борьбы противоположностей; если формальная логика, как мы видели, разделяет количество и качество, то в гегелевской диалектике имеется закон перехода одного качества в другое через незаметные количественные изменения, то есть разделение количества и качества мыслится как недопустимое (см. Часть 2). Формальная логика есть наука о неподвижном, диалектика представляет собой общую теорию движения и развития:
«…в диалектической логике преодолевается известное «безразличие» к содержанию (точнее сказать: большая степень отвлечения формы от содержания), которое присуще формальной логике», – пишет современный исследователь [Розенталь М. М. Принципы диалектической логики. – М., 1960, с. 94].
По отношению к формальной логике гегелевская диалектическая логика является более общей теорией. Они соотносятся между собой как неподвижность и движение. Неподвижность (покой) является частным случаем движения.