Лекция 2. Логическая форма

Пустовит А. В.

Не до логики – голоден

Д. Авалиани

Уже было сказано о том, что главная цель логики – обоснование правильности (или неправильности) рассуждений, – тех или иных способов получения истинных знаний из уже имеющихся знаний.

От чего же зависит правильность рассуждения?

Сравним три рассуждения, одно из которых нам уже знакомо:

Все три рассуждения – правильные. В них из истинных посылок с необходимостью следуют истинные выводы. Все три одинаково построены, то есть имеют одну и ту же форму, а именно:

Все А суть В.

С есть А.

С есть В

Итак, содержание этих трех правильных рассуждений различно, форма – одинакова. Можно предположить, что за истинность вывода в приведенных рассуждениях отвечает форма рассуждения, а не его содержание.

Формальная логика основывается на существенном и совсем не тривиальном предположении: правильность рассуждения зависит только от его формы и не зависит от содержания. Именно поэтому она и называется формальной логикой.

Итак, можно предположить, что форму рассуждения можно отделить от его содержания. Самым общим образом форму рассуждения можно определить как способ связи входящих в это рассуждение содержательных частей [Ивин А. А. Логика. – М., 2004, с. 12]. Это определение может показаться достаточно сложным и не очень понятным. Приведем примеры. Пусть имеем два утверждения:

1) Все вороны – птицы

2) Все шахматисты – гроссмейстеры

По содержанию эти утверждения различны: первое – истинно, второе – ложно; в первом идет речь о птицах, во втором – о людях, но форма их тождественна, строение одинаково и может быть выражено формулой: Все S суть P.

«Этот простой пример хорошо показывает одну из особенностей подхода формальной логики к анализу рассуждений – его высокую абстрактность… Два утверждения, различные с точки зрения своего содержания, оказались неразличимыми с точки зрения своей логической формы. Но насколько абстрактным должен быть подход формальной логики, чтобы дать возможность увидеть за совершенным различием полное совпадение!» [Ивин А. А. Логика. – М., 2004, с. 14-15]

(о том, что такое абстракция см. далее).

Для того, чтобы более содержательно, более полно проиллюстрировать важное понятие формы рассуждения или логической формы, обратимся к следующей задаче.

Задача №1

Школьный класс состоит из послушных и непослушных девочек, а также послушных и непослушных мальчиков. Известно, что число послушных девочек равно числу непослушных мальчиков.

Кого в классе больше: мальчиков или послушных детей?

Решение. Мальчики делятся на послушных и непослушных:

М = П.М. + Н.М. (полное число мальчиков равно количеству послушных мальчиков сложенному с количеством непослушных мальчиков).

Воспользуемся теперь условием задачи. Известно, что послушных девочек столько же, сколько непослушных мальчиков: П.Д.=Н.М.

В уравнение подставим вместо числа непослушных мальчиков число послушных девочек:

М.= П.М. + Н.М.= П.М. + П.Д.

Однако если сложить число послушных девочек и послушных мальчиков, то получим число послушных детей; оно равно числу мальчиков.

Ответ: мальчиков столько же, сколько послушных детей.

Внимание! Проверьте себя: если Вы действительно поняли ход решения, то сможете ответить на следующий вопрос: что можно сказать о количестве девочек в классе?

Нетрудно сообразить, что девочек столько же, сколько непослушных детей.

Это можно показать строго математически:

Д = П.Д. + Н.Д. (полное число девочек равно числу послушных девочек, сложенному с числом непослушных девочек). Однако число послушных девочек равно числу непослушных мальчиков: П.Д.=Н.М.

Тогда Д= П.Д.+Н.Д.= Н.М.+ Н.Д.

Если сложить число непослушных мальчиков и непослушных девочек, то получим число непослушных детей.

Можно не прибегать к формулам, если сообразить, что, каково бы ни было число детей в классе, оно не меняется в зависимости от способа деления! Как бы ни делить класс, – на мальчиков и девочек, или на послушных и непослушных, – это все тот же класс, и число детей в нем неизменно! Итак, если мальчиков ровно столько же, сколько послушных детей, то с необходимостью девочек должно быть столько же, сколько непослушных.

Рассмотрим теперь другую задачу.

Задача №2

В гостинице для животных живут черные и белые собаки, а также черные и белые коты. Известно, что белых собак в точности столько же, сколько черных котов. Кого в гостинице больше – котов или белых животных?

Решение. Полное число котов равно числу белых котов, сложенному с числом черных котов:

К= Б.К. + Ч.К.

Известно, что белых собак столько, сколько черных котов:

Б.С. = Ч.К. Тогда

К = Б.К. + Ч. К. = Б.К. + Б. С.

Ответ: котов столько же, сколько белых животных.

Практическое задание

Предлагаю читателю для упражнения самостоятельно составить еще одну задачу по этой схеме.

(Например: В подушечку для шитья вкололи некоторое число честолюбивых и смиренных иголок, а также некоторое число честолюбивых и смиренных булавок. Известно, что честолюбивых иголок ровно столько же, сколько смиренных булавок. Спрашивается, чего больше – иголок или смиренных швейных принадлежностей?)

Зададимся теперь вопросом: перед нами одна и та же задача или разные задачи?

Вторая задача решается точно так же, как первая. Содержание задач различно (в первой идет речь о девочках и мальчиках, во второй – о котах и собаках), а логическая форма их – одна и та же. Итак, ответить на наш вопрос однозначно невозможно: по содержанию задачи различны, а по форме – одинаковы.

И в первой, и во второй задаче идет речь о двух типах объектов (мальчики – девочки; коты – собаки), которые делятся в соответствии с некоторым признаком (свойством) (послушные-непослушные; черные – белые).

Возможно ли сформулировать эту задачу в предельно общем виде? – Давайте попробуем.

Задача № 3

Пусть имеем некие объекты двух типов – объекты типа А и объекты типа В. И те, и другие объекты обладают либо свойством с, либо свойством d. Обозначим Ас количество объектов типа А, обладающих свойством с, и Аd – количество объектов типа А, обладающих свойством d. Точно так же поступим с объектами типа B.

Известно, что объектов типа А, обладающих свойством с, столько же, сколько объектов типа В, обладающих свойством d: Ас = Вd.

Каких объектов больше – объектов типа А или объектов, обладающих свойством d?

Решение.

А = Ас + Аd = Bd + Ad

B = Bc + Bd = Bc + Ac

Итак, доказано: количество объектов типа А равно количеству объектов, обладающих свойством d; количество объектов типа В равно количеству объектов, обладающих свойством с.

Что мы сделали с задачей ? – Мы ее формализовали. Вполне понятно, что задач такого типа можно придумать бесконечно много. Все они будут различны по содержанию, но логическая форма у них – одна и та же. Решение нашей задачи представляет собой рассуждение. Форму рассуждения, как уже было сказано, можно определить как способ связи входящих в это рассуждение содержательных частей. Мы видим, что эти части в Задаче №1 и в Задаче №2 и в Задаче №3 связаны одним и тем же способом. Это и значит, что наши задачи имеют одну и ту же логическую форму. Можно сказать и так: логическая форма нашей задачи, – это то, что остается неизменным (сохраняется) при переходе от Задачи №1 к Задаче №2.

Итак, в данном случае, действительно, форму рассуждения можно отделить от его содержания (именно это мы и сделали в Задаче №3; форма – единственная, содержаний – бесконечно много).

В первой задаче мы рассуждаем о мальчиках и девочках, во второй – о котах и собаках, но делаем это совершенно одинаковым образом.

Почему в данном случае нам удалось отделить форму рассуждения от его содержания? – Потому что и в первой, и во второй задачах значение имеет только количество объектов, но не их качество! Не имеет значения, о чем идет речь, – о мальчиках или о котах, – важно только их количество.

Это количество выражается натуральным (то есть целым и положительным) числом.

Что же представляет собою натуральное число?

Сформулировав этот вопрос, мы вступили в область арифметики, – науки о числах (греческое слово арифмос означает «число»). Всем известно, что такое натуральный ряд – последовательность целых положительных чисел: 1, 2, 3, 4…….. Если, однако, спросить: что такое «три» (3)?, – то дать отчетливый ответ будет нелегко.

«Три», – это три мальчика? – Нет.

Тогда, может быть, три кота? – Тоже нет.

Мальчиков можно найти в школьном классе. Котов можно купить на рынке. А где найти число «три»? Каково его происхождение?

Отчетливое определение понятия натурального числа на основе понятия множества (совокупности предметов) было дано в 70-х гг. XIX в. в работах великого математика, создателя теории множеств Георга Кантора. Сначала он определяет понятие равномощности совокупностей. Именно, две совокупности называются равномощными, если составляющие их предметы могут быть сопоставлены по одному. Множество трех мальчиков и множество трех котов равномощны (каждому мальчику можно дать в руки по коту). Затем число предметов, составляющих данную совокупность, определяется как то общее, что имеет данная совокупность и всякая другая, равномощная ей совокупность предметов, независимо от всяких качественных особенностей этих предметов [Фаддеев Д. К. Число. – БСЭ, 3-е изд., т. 29, с. 215. – М., 1978].

Итак, что есть число «три» ? – Это то общее, что имеют между собой три мальчика и три кота.

Число «три» подобно форме, отделенной от содержания: идет ли речь о мальчиках, котах, столах или апельсинах – в данном случае не имеет значения.

Для того, чтобы прийти к понятию натурального числа, нам пришлось отвлечься (абстрагироваться) от качественной определенности множества и сосредоточиться только на его количественной характеристике: надо, так сказать, забыть о том, кто именно перед нами, – мальчики или коты, – и помнить только о том, что их три. В отличие от мальчиков, которые учатся в школах и котов, живущих у некоторых людей дома, числа представляют собою формы, лишенные содержания, абстракции, то есть создания человеческого разума.

Философ сказал бы, что мальчики и коты существуют на самом деле (принадлежат реальности), а натуральные числа люди придумали.

Можно это изложить иначе. Что такое 3 (или 2)?

3= 1 +1+1

2=1+1

Что есть 1?

То общее, что есть между мальчиком и котом.

Существует ли точка зрения, встав на которую мы не сможем отличить мальчика от кота? – Да, существует. Это точка зрения науки арифметики, отделяющей количество от качества, забывающей о качестве и помнящей только о количестве!

2+3=5, – утверждает арифметика. Естественно поинтересоваться: два – чего? Три – чего? Два апельсина, два человека, два кота, два яблока? – Не важно чего, – говорит арифметика, – важно, что два! Вот это и называется отделить форму от содержания или мыслить абстрактно. Вспомните приведенные в этом разделе ранее слова А. А. Ивина о том, что формальная логика подходит к анализу рассуждений очень абстрактно.

– Что означает слово абстрактный? – В буквальном переводе с латинского абстрактный означает «разъединенный, расщепленный, от- влеч-енный». Влечь означает тянуть, тащить, то есть самый смысл термина указывает на то, что мы раз-деляем единое, как бы рас-таскиваем его на части, в данном случае – мысленно отделяем друг от друга качество и количество, содержание и форму. Поступать так как раз и означает мыслить абстрактно.

Абстрагирование – это слово можно было бы перевести на русский как от-влечение или рас-таскивание.

В первой сказке об Алисе имеется знаменитый эпизод: Алиса беседует с Чеширским Котом, которому свойственно внезапно исчезать и столь же внезапно появляться. Алиса говорит ему:

«А Вы можете исчезать и появляться не так внезапно? А то у меня голова идет кругом.

– Хорошо, – сказал Кот и исчез – на этот раз очень медленно.

Первым исчез кончик его хвоста, а последней – улыбка; она долго парила в воздухе, когда все остальное уже пропало.

– Д-да! – подумала Алиса. – Видала я котов без улыбок, но улыбка без кота! Такого я в жизни еще не встречала» [Алиса, с. 74].

Эпизод обычно воспринимается читателем как комический; однако отделение улыбки от кота не более смешно, чем отделение качества от количества !

А ведь именно таким образом мы приходим к математическому понятию «единица» (1): мысленно разделяем чувственно воспринимаемый объект – например, кота, – на количество и качество, и благодаря этой операции получаем абстрактные понятия «единичность» и «кошачесть» (свойство быть котом).

Итак, мы абстрагируем, – т.е. растаскиваем, разделяем единичность и «кошачесть», кота и его улыбку.

Поступив таким же образом с мальчиком, получим «единичность» и «мальчиковость» (свойство быть мальчиком).

Теперь мы можем ответить на вопрос о том, что такое единица (1): это то общее, что есть между мальчиком и котом. Натуральное число- чистая форма, абстракция количества – без качества.

Великий русский поэт Александр Блок определял себя таким образом: «Я – сочинитель, человек, называющий все по имени, отнимающий аромат у живого цветка». – Кто же такой математик?

– Человек, отнимающий единичность у живого кота. Поэт склонен забыть о количестве, помня о качестве. Математик (вернее сказать, арифметик), – напротив, помня о количестве, забывает о качестве. И поэтический, и арифметический подходы к действительности страдают односторонностью.

Когда поэт говорит: «фонтан – хрустальное копье, вонзающееся в небо», то все понимают, что это не совсем правда. Важно, однако, понимать и то, что истины арифметики – тоже не совсем правда. Современный исследователь пишет:

«Есть две модели познания мира – … поэтическая и научная. Обе модели имеют свои особенности, свои преимущества и недостатки, свои «условности», искажения «объективной реальности». Чтобы не быть обманутым этими условностями, надо ясно отдать себе в них отчет….То, что поэзия – не совсем правда, это все понимают. Надо, однако, понять, что точность точных наук тоже искажает действительность… тоже основана на условном форсировании одного аспекта взамен всех остальных» [Померанц Г. Две модели познания. – Померанц Г. Выход из транса. – М., 1995, с. 53].

Итак, правильное восприятие действительности предполагает некое равновесие между наукой и поэзией. Причиной многих бед современности стало нарушение этого равновесия в пользу науки. Действительно, ведь в основании ныне существующей цивилизации лежат достижения техники, обусловленные великими открытиями в области естественных наук. Эти достижения и открытия были бы немыслимы без высокоразвитого математического аппарата естествознания. Великий философ Кант когда-то заметил, что в любой науке ровно столько науки, сколько в ней математики. Этим и объясняется явное предпочтение, которое современная культура отдает математике перед поэзией, – при том, что математика

все-таки не является истиной в последней инстанции!

Как странно выглядят основания математики! Как это неестественно и дико – отделять единичность от кошачести! Поистине очень странно, непостижимо, что эта интеллектуальная игра может иметь какое-то отношение к реальности!

Не случайно выдающийся физик ХХ в., нобелевский лауреат Э. Вигнер называет один из разделов своей знаменитой книги «Этюды о симметрии» так: «Непостижимая эффективность математики в естественных науках» [Вигнер Е. Этюды о симметрии. – М., 1971, с. 182 – 197]. Изложение начинается с анекдота. Встретились два приятеля, знавшие друг друга еще со студенческой скамьи, и разговорились о том, кто чем занимается. Один из приятелей стал статистиком и работал в области прогнозирования изменения численности народонаселения, то есть, в частности, пытался определить вероятность того, сколько в семье детей, – двое, например, или трое. Оттиск одной из своих работ статистик показал бывшему соученику.

– Что это за символ? – спросил тот.

– Число «пи», – ответил другой.

– А что оно означает?

– Отношение длины окружности к ее диаметру.

– Ну, знаешь, говори, да не заговаривайся, – обиделся приятель статистика. – Что же может быть общего между количеством детей в семье и длиной окружности?

Самое поразительное состоит, однако, в том, что какая-то связь между ними существует. Почему она существует – совершенно неизвестно. Эпиграфом к своей работе Вигнер ставит слова выдающегося логика XIX в. Ч. С. Пирса: «…по-видимому, здесь есть какая-то тайна, которую нам еще предстоить раскрыть».

Итак, можно, пожалуй, согласиться с тем, что основания арифметики выглядят комично (чтобы не сказать анекдотично). Исток этого комизма – односторонность (этим же обусловлен комизм карикатуры).

Не только арифметика, но и вся математика вообще основана на отделении формы от содержания, т.е. на человеческой способности мыслить абстрактно. «Выражение «улыбка без кота» представляет собой неплохое описание чистой математики», – пишет, комментируя сказку Кэрролла, замечательный американский математик Мартин Гарднер [Алиса, с. 74]. Действительно, основания математики выглядят так же странно, как улыбка без кота: и эта улыбка и понятие натурального числа представляют собой результат абстрагирования.

Обилие анекдотов о математике и математиках не вызывает удивления. Совершенно поразительно, однако, то, что эта наука, основанная на таком диковинном образе мыслей и не умеющая отличить мальчика от кота, – имеет прямое отношение к реальности! Великий физик ХХ в. А. Эйнштейн, впрочем, замечает: в той мере, в какой математика является бесспорной, она не относится к реальности, а в той мере, в какой она относится к реальности, она не является бесспорной.