2. Когерентная концепция истины

Пустовит А. В.

Латинское слово cohaerentia означает «внутренняя связь» или «связность».

В пределах этой концепции истиной считается то, что доказано по правилам логики: примерами могут служить теоремы геометрии (см. Лекцию 2). Напомним, что геометрия построена следующим образом: ее фундаментом являются аксиомы, – истины, принимаемые без доказательства, на веру; из аксиом выводятся теоремы, – истины, получаемые путем доказательства.

Более двух тысяч лет геометрия Евклида считалась образцом точной и строгой науки, в которой с безупречной отчетливостью истины отделены от лжи. В XIX в. ситуация изменилась, в истории математики произошло великое событие: четырьмя выдающимися математиками, – Гауссом, Больяем, Лобачевским и Риманом, – были построены неевклидовы геометрии.

До самого конца XVIII в. математики пытались доказать постулат о параллельных (см. Лекцию 2), т. е. вывести его из других постулатов и аксиом. Попытки оказались неудачными.

Осознав независимость аксиомы о параллельных от других постулатов и аксиом, создатели неевклидовых геометрий заменили постулат о параллельных другими утверждениями. Лобачевский и Больяй допустили, что существует множество прямых, которые не пересекутся с данной, Риман полагал, что через точку, лежащую вне прямой на плоскости, нельзя провести ни одной прямой, параллельной данной. На первый взгляд такие предположения кажутся странными и невероятными. Однако дело в том, что евклидовский постулат о параллельных ничуть не менее странен: он кажется убедительным только потому, что к нему привыкли. Ведь на самом деле никто никогда не проводил двух бесконечных прямых! Проверить, пересекаются они или нет, – невозможно, потому что невозможно их построить. Верить же можно любому из трех постулатов.

При своем появлении неевклидовы геометрии казались бессодержательными, хотя и изящными, формальными знаковыми построениями. Понадобилось около полувека, чтобы найти ту сферу действительности, где неевклидова геометрия применима [Берков В. Ф., Яскевич Я. С., Павлюкевич В. И. Логика. – Минск, 2002, с. 214].

В 1868 г. итальянский математик Э. Бельтрами (1835 – 1900) в своей работе «Опыт интерпретации неевклидовой геометрии» показал, что существуют реальные тела, на поверхности которых выполняется геометрия Лобачевского: оказалось, что в евклидовом реальном мире имеются объекты неевклидовой природы, – это поверхности отрицательной кривизны, в частности, псевдосфера.

Аксиома параллельности играет в геометрии фундаментальную роль, определяя разделение геометрии на две логически непротиворечивые и взаимно исключающие друг друга системы: евклидову и неевклидову геометрии [Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. – М., 1971, с. 222]. Даже в математике, – этой образцово точной и строгой науке, – единственность доказанной истины оказалась утраченной!

Таким образом, в соответствии с двумя разными системами аксиом были построены две неевклидовы геометрии. Вполне понятно, что и теоремы этих двух геометрий оказались разными, отличающимися и друг от друга и от теорем геометрии Евклида: например, в геометрии Евклида сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусам, у Римана она больше, у Лобачевского – меньше [Концепции современного естествознания. Под ред. проф. В. Н. Лавриненко и проф. В. П. Ратникова. – М., 2002, с. 148].

Разумеется, встал вопрос об истинности трех различных геометрий.

Какова геометрия реального мира? Какой геометрией следует пользоваться при решении проблем прикладного знания, – например, физики и астрономии? Нельзя ли обратиться к практике для решения этого вопроса?

Многое проясняет общая теория относительности Эйнштейна. По Эйнштейну, в пустом пространстве (которое является, образно говоря, плоским) работает евклидова геометрия, а гравитационное поле (поле тяжести) существующее вокруг материальных тел искривляет пространство, и в таком искривленном пространстве работают неевклидовы геометрии.

Согласно общей теории относительности, геометрические свойства пространства не самостоятельны: они обусловлены материей…

Из предшествующих рассуждений мы уже знаем, что поля тяготения, т. е. распределение материи, влияют на поведение часов и масштабов. Отсюда уже ясно, что не может быть и речи о точной применимости эвклидовой геометрии в нашем мире. Однако мыслимо, что наш мир мало отклоняется от эвклидова; это предположение допустимо, поскольку, согласно расчету, даже массы порядка массы нашего Солнца лишь совершенно незначительно влияют на метрику окружающего нас пространства. Можно представить себе, что наш мир по своим геометрическим свойствам подобен поверхности, неравномерно искривленной в некоторых частях, нигде, однако, не отклоняющейся значительно от плоскости, и похож на поверхность слабо волнующегося моря… [А. Эйнштейн. О специальной и общей теории относительности (Общедоступное изложение). В кн.: Эйнштейн А. Физика и реальность. – М., 1965. Стр.222 – 223]

Итак, наш мир, по Эйнштейну, является квазиэвклидовым.

Плоское пространство имеет нулевую кривизну. Искривленное пространство может быть искривлено различно: оно может иметь как положительную, так и отрицательную кривизну. Например, шар и эллипсоид – это поверхности положительной кривизны; существуют и поверхности отрицательной кривизны, – например,уже упомянутая псевдосфера.

Геометрия Евклида – это геометрия плоского (неискривленного) пространства; геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия) – геометрия пространства отрицательной кривизны; геометрия Римана – эллиптическая геометрия, она реализуется в пространстве положительной кривизны. Ей соответствуют построения на поверхности шара или эллипсоида [Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. – М., 1981, с. 235 – 242]

Геометрия Евклида – частный случай неевклидовой (римановой) геометрии.

Вот что пишет об особенностях римановой геометрии математик М. Клайн:

«Чтобы постичь геометрию Римана, нужно усвоить сначала, что вся геометрия определяется тем, что выбрано за расстояние между двумя точками. Это можно без труда показать. Рассмотрим три точки на поверхности Земли. За расстояние между любыми двумя из них можно принять длину обычного прямолинейного отрезка, который соединяет их под землей. В этом случае получится треугольник, обладающий всеми свойствами обычного евклидова треугольника. Сумма его углов, в частности, равна 180 градусам. Можно было бы, однако, взять за расстояние между любыми двумя из этих точек расстояние по поверхности Земли, понимая под ним длину дуги большого круга, проходящего через эти точки. В этом случае три наши точки определят так называемый сферический треугольник. Такие треугольники обладают уже совершенно иными свойствами. Сумма их углов, к примеру, может изменяться в пределах от 180 до 540 градусов. Этот результат относится к сферической геометрии» [Клайн М. Геометрия. – Математика в современном мире. – М., 1967, с. 58].

«Общая теория относительности показала, что в основу рационального описания физической действительности должна быть положена не обычная евклидова геометрия, а более общая риманова геометрия» [Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. – М., 1981, с. 174].

Почему риманова геометрия является более общей, нежели евклидова? Потому что плоскость можно рассматривать как фрагмент сферической поверхности с бесконечно большим радиусом! Плоскость есть частный случай сферы, – чем больше радиус сферы и чем меньше взятый нами участок ее поверхности, тем он ближе к плоскости.

Это похоже на построения великого философа XV в. Николая Кузанского: прямое и кривое (дуга окружности и хорда) – это противоположности; прямое не есть кривое, кривое не есть прямое. Однако если окружность имеет бесконечно большой радиус, то дуга такой окружности превращается в отрезок прямой. (Более точно это можно сформулировать следующим образом: Чем больше радиус окружности и чем меньше взятый нами отрезок дуги, тем меньше этот отрезок дуги отличается от отрезка прямой). Таким образом, прямое есть частный случай кривого.

Кривое превращается в прямое, когда в игру вступает бесконечность!

Впрочем, отклонения от евклидовости очень невелики, так невелики, что в условиях Земли их почти невозможно заметить. Даже такая громадная масса, как масса Солнца, все-таки приводит к очень незначительным искривлениям пространства (все же регистрируемым экспериментально: изменение положения звезд во время солнечного затмения и некоторые особенности в движении ближайшей к Солнцу планеты Меркурий служат экспериментальными доказательствами общей теории относительности).

Итак, имеет место совершенно удивительная ситуация: теоретически евклидова и неевклидовы геометрии принципиально различны, основаны на различных системах аксиом и взаимно исключают друг друга, как прямое и кривое, как плоскость и сфера (прямое не есть кривое, плоскость не есть сфера). Однако практически, в аспекте эксперимента и вычислений, они приводят почти к одним и тем же результатам (формулы неевклидовой геометрии переходят в формулы евклидовой, когда кривизна пространства стремится к бесконечности [Фрид Э., Пастор И., Рейман И., Ревес П., Ружа И. Малая математическая энциклопедия. – Будапешт, 1976, с. 346]): геометрия реального мира, по Эйнштейну, есть геометрия на сфере (эллиптическая, риманова геометрия), но радиус этой сферы так велик, что фрагмент ее поверхности почти неотличим от плоскости.

[Все это заставляет вспомнить армейский анекдот:

– Товарищ лейтенант, крокодилы летают?

– Нет.

– А товарищ генерал говорил, что летают!

………………………………………………

– Да, летают! Но очень низко!]

Это похоже на положение дел, например, в архитектуре. Планета Земля, на которой архитектор строит здание, – круглая. Ее поверхность близка к сфере. Однако радиус Земли так велик по сравнению с размерами здания, что архитектор вправе считать поверхность Земли плоской, – тот маленький участок земной поверхности, который нужен ему, практически неотличим от плоскости. Строго говоря, геометрия на сфере – риманова геометрия; но если нам нужен совсем маленький участок сферы, то вполне хорошо работает евклидова геометрия, являющаяся частным случаем римановой. Таким образом, и евклидова, и неевклидовы геометрии способны описывать действительность [Фрид Э., Пастор И., Рейман И., Ревес П., Ружа И. Малая математическая энциклопедия. – Будапешт, 1976, с. 347].

Великий математик ХХв. А. Пуанкаре заключает:

«Если… мы обратимся к вопросу, является ли евклидова геометрия истинной, то найдем, что он не имеет смысла. Это было бы все равно, что спрашивать, какая система истинна – метрическая или же система со старинными мерами, или какие координаты вернее – декартовы или же полярные. Никакая геометрия не может быть более истинна, чем другая; та или иная геометрия может быть только более удобной» [Пуанкаре А. Наука и гипотеза. – Пуанкаре А. О науке. – М., 1990, с. 49]

Нечто подобное пишет и Б. Рассел:

«Один набор аксиом – эвклидов; другие такие же хорошие наборы аксиом ведут к другим результатам. Насколько эвклидовы аксиомы верны – это вопрос, к которому чистый математик безразличен. Более того, на этот вопрос теоретически невозможно дать определенный утвердительный ответ» [Рассел Б. Философский словарь разума, материи, морали. – К., 1996, с.59].

Подведем итог сказанному. Осознав независимость аксиомы Евклида о параллельных от остальных аксиом евклидовой геометрии, математики сумели построить несколько неевклидовых геометрий: «работа над аксиомой о параллельных привела к расчленению единого потока развития геометрии на множество рукавов… Геометрия, дотоле единая, разделилась на несколько одинаково истинных геометрий. Дальнейшее развитие математики не только не отменило этот результат, но всесторонне подтвердило и обосновало его: существует не одна, а много математик», – формулирует М. Клайн [Клайн М. Математика. Утрата определенности. – М., 1984, с. 313-314].

Вот как он характеризует современное состояние математики:

«Стало ясно, что представление о своде общепринятых, незыблемых истин – величественной математике начала XIX в., гордости человека – не более чем заблуждение. На смену уверенности и благодушию, царившим в прошлом, пришли неуверенность и сомнения в будущем математики. Разногласия по поводу оснований самой «незыблемой» из наук вызвали удивление и разочарование (чтобы не сказать больше). Нынешнее состояние математики – не более чем жалкая пародия на математику прошлого с ее глубоко укоренившейся и широко известной репутацией безупречного идеала истинности и логического совершенства… Один из величайших математиков ХХ в. Герман Вейль сказал в 1944 г.: „Вопрос об основаниях математики и о том, что представляет собой в конечном счете математика, остается открытым… „Математизирование” может остаться одним из проявлений творческой деятельности человека, подобно музицированию или литературному творчеству, ярким и самобытным, но прогнозирование его исторических судеб не поддается рационализации и не может быть объективным”» [Клайн М. Математика. Утрата определенности. – М., 1984, с. 15 – 16].

Итак, когда применяют аксиоматический метод, система знания строится на аксиомах (постулатах) – недоказуемых началах. Доказываемое знание зависит от того, какую систему аксиом мы изберем. Выбор же системы аксиом зависит от веры, – аксиомы недоказуемы.

Доказанное знание может существовать только в пределах определенной системы аксиом. Доказательство является сведением к аксиомам, – это было показано на конкретном примере в Лекции 2. Однако даже в геометрии возможны многие различные системы аксиом.

Вот как характеризует структуру научного знания выдающийся мыслитель ХХ в. К. Поппер:

«В эмпирическом базисе объективной науки нет ничего «абсолютного». Наука не покоится на твердом фундаменте фактов. Жесткая структура ее теорий поднимается, так сказать, над болотом. Она подобна зданию, воздвигнутому на сваях. Эти сваи забиваются в болото, но не достигают никакого естественного или «данного» основания. Если же мы перестали забивать сваи дальше, то вовсе не потому, что достигли твердой почвы. Мы останавливаемся просто тогда, когда убеждаемся, что сваи достаточно прочны и способны, по крайней мере некоторое время, выдерживать тяжесть нашей структуры» [цит. по: Ивин А. А. Логика. – М., 2004, с. 252].

Итак, когерентная концепция истины тоже не свободна от трудностей. Одной только логической связности, самосогласованности знания еще недостаточно для признания его истинным. Артур Конан Дойл, написавший цикл рассказов о Шерлоке Холмсе, создал целостный и непротиворечивый мир. Каждый новый рассказ добавлял в него еще больше достоверности. Однако не можем же мы в оценке истинности этого мира уподобляться тем простодушным читателям, которые посылали письма на Бейкер-стрит, полагая, что там живет реальный Шерлок Холмс! [Философия. Учебник. Под ред. В. Д. Губина, Т. Ю. Сидориной, В. П.Филатова. – М., 1998, с. 168].

Доказательность возможна только в пределах системы аксиом, а таких систем может быть много, и, соответственно, доказанных истин тоже оказывается много.

Представим себе, что у нас имеется некая логически согласованная система знания. Если заменить в ней все суждения на противоположные, то опять можно получить логически связанную и целостную систему знания. Таким образом, окажется, что одинаково хорошо обоснованы истины, противоположные друг другу (см. напр.: Пустовит А. В. Этика и эстетика. С. 666 – 669).